문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 상대론적 도플러 효과 (문단 편집) == 유도 == 관찰자는 [math(\mathcal{O'})]계에 있으며, 광원은 [math(\mathcal{O}')]계에 대하여 [math(+x')]방향으로 [math(v)]의 속력으로 움직있는 [math(\mathcal{O})]계에 있다. 광원과 관찰자의 거리가 충분히 멀다면 광원에서 방사된 빛은 평면파로 근사 가능하다. 유도를 이어가기 전 다음과 같은 4-벡터를 정의하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbb{K} = \biggl(\frac{\omega}{c},\, \mathbf{k} \biggr) \end{aligned} )] }}} [math(\mathbf{k})]는 평면파의 파수 벡터이다. 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} K_{i}x^{i}=\omega t -\mathbf{k} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r} \end{aligned} )] }}} 은 좌표계에 상관 없이 불변량이다. 즉 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \omega t -\mathbf{k} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}=\omega' t' -\mathbf{k'} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r'} \end{aligned} )] }}} 인 것이다. [math(\mathcal{O'})]계에서 평면파의 물리량은 다음과 같은 로런츠 역변환을 통해 얻을 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\omega '}{c}=\gamma \biggl( \frac{\omega}{c}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{k'} \biggr) \end{aligned} )] }}} [math(\boldsymbol{\beta}=\mathbf{v}/c)]이고, [math(\gamma)]는 [[로런츠 인자]]이다. [math(\mathcal{O})]계에서 측정한 [math(\boldsymbol{\beta})]와 [math(\mathbf{k})]와의 각을 [math(\theta)]라 하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\omega '}{c}=\gamma \biggl( \frac{\omega}{c}+\beta k\cos{\theta} \biggr) \end{aligned} )] }}} [math(kc=\omega)], [math(2\pi f=\omega)]임을 이용하면 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} f'= \frac{1+\beta\cos{\theta}}{\sqrt{1-\beta^{2} }} f \quad \cdots \, \small{(\ast)} \end{aligned} )] }}} 이제 이것을 [math(\mathcal{O}')]에서 측정된 각도 [math(\theta')]으로 쓰자. 참고로 일반적으로 [math(\theta \neq \theta')]을 만족하는데, 이를 '''광행차(aberration of light)'''라 한다. 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta}=\frac{k_{\bot}'}{k_{x}'}=\frac{k_{\bot}}{\gamma \biggl(k\cos{\theta}+\dfrac{\beta\omega}{c} \biggr)} \end{aligned} )] }}} [math(k_{\bot})]는 [math(\mathbf{k})]의 [math(k_{x})]와 수직한 방향의 성분이다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta'}=\frac{\sin{\theta} \sqrt{1-\beta^{2} }}{\cos{\theta}+\beta} \end{aligned} )] }}} 이 식을 통해 조금 계산함으로써 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{\theta}=\frac{\beta -\cos{\theta'}}{\beta \cos{\theta'}-1} \end{aligned} )] }}} 이것을 [math(\small{(\ast)})]에 대입하면 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} f'= \frac{\sqrt{1-\beta^{2} }}{1-\beta\cos{\theta'}} f \end{aligned} )] }}} 파장과 진동수의 관계 [math(\lambda f =c)]를 이용하면 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \lambda'= \frac{1-\beta\cos{\theta'}}{\sqrt{1-\beta^{2} }} \lambda \end{aligned})]}}} 이 상대론적 도플러 효과는 관측자와 광원의 상대 운동만으로 결정되기 때문에 반대의 경우를 구해보아도 각 변수의 차이에 의한 부호 차이만 있을 뿐 동일하게 나온다. 아래는 파장이 [math(540\,{\rm nm})]인 빛({{{#00ff00 ■}}})을 방사하는 광원이 각각 [math(0.25c)], [math(0.5c)], [math(0.8c)]로 관측자에 대하여 움직일 때, 각 위치에서 관측자가 관찰하는 빛의 색을 나타낸 것이다. ||{{{#!wiki style="margin:-5px -10px" [[파일:namu_상대론적_도플러_효과_예시_그래프_수정.png|width=100%]]}}}|| 참고로 [math(0.5c)]일 경우, 검은색 영역은 빛이 관측되지 않는 것이 아니라 적색편이 혹은 청색편이의 정도가 심하여 [[적외선]] 혹은 [[자외선]] 영역의 빛을 관측하게 되는 것이다. [[http://physica.gnu.ac.kr/phtml/modern/relativity/ldoppler/ldoppler2.html|이 사이트]]에서 시뮬레이션 가능하다. {{{#!folding [상대론적 전자기학을 사용해보기] ----- 상대론적 도플러 효과를 [[상대론적 전자기학]] 문서의 결과를 빌려 증명해보자. 정지한 관성계 [math(\mathcal{O})]에 대하여 [math(+x)]방향, [math(v)]의 속력으로 움직이는 관성계 [math(\bar{\mathcal{O}})]에 [math(+\bar{x})]방향으로 진행하는 전자기파 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{\bar{E}}&=\mathbf{\hat{\bar{y} }}\bar{E}\cos{(\bar{k} \bar{x}-\bar{\omega} \bar{t})} \\ \mathbf{\bar{B}}&=\mathbf{\hat{\bar{z} }}\bar{B}\cos{(\bar{k} \bar{x}-\bar{\omega} \bar{t})} \end{aligned})] }}} 를 고려하자. 다행히도 두 관성계의 상대 속도와 수직인 장만 존재하므로 그 변환은 아래와 같이 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=\mathbf{\hat{y}}\gamma (\bar{E}+v\bar{B}) \cos{(\bar{k} \bar{x}-\bar{\omega} \bar{t})} \\ \mathbf{B}&=\mathbf{\hat{z}}\gamma \biggl( \frac{v\bar{E}}{c^2}+\bar{B} \biggr) \cos{(\bar{k} \bar{x}-\bar{\omega} \bar{t})} \end{aligned})] }}} 그런데, 패러데이 법칙을 [math(\bar{\mathcal{O}})]계에서 적용함으로써 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \bar{k}\bar{E}=\bar{\omega} \bar{B} \quad \to \quad \bar{E}=c\bar{B} \end{aligned})] }}} 이를 이용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=\mathbf{\hat{y}} \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\bar{E} \cos{(\bar{k} \bar{x}-\bar{\omega} \bar{t})} \\ \mathbf{B}&=\mathbf{\hat{z}}\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\bar{B} \cos{(\bar{k} \bar{x}-\bar{\omega} \bar{t})} \end{aligned})] }}} 이제 시간과 위치를 [math(\mathcal{O})]계로 바꾼다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \bar{k} \bar{x}-\bar{\omega} \bar{t}&= \bar{k}[\gamma (x-\beta ct) ]-\bar{\omega}[\gamma (t-c^{-1}\beta x) ] \\ &=\gamma [ (1+\beta)\bar{k}x- (1+\beta)\bar{\omega}t ] \\&=\biggl[\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} \bar{k} \biggr]x- \biggl[\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} \bar{\omega} \biggr]t \end{aligned})] }}} 이상의 결과에서 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} f =\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} \bar{f} \end{aligned})] }}} 이 상황은 광원이 관찰자를 기준으로 왼쪽으로 무한히 떨어져있으면서 다가오는 상황과 같으므로 위에서 구했던 것과 같은 결과를 얻는다. 재미있는 현상은 또 하나 있는데, 빛의 세기는 전기장 제곱에 비례하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{I}{\bar{I}}=\frac{E^{2}}{\bar{E}^2}=\frac{1+\beta}{1-\beta} \end{aligned})] }}} [math(\beta \to 1)]일 경우 [math(I \to \infty)]가 된다. 또, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\omega}{k}=\frac{\bar{\omega}}{\bar{k}}=c \end{aligned})] }}} 로 광속 불변의 법칙이 증명된다.}}}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기